מקצועות המחר – ואריסטו השלשום

Aristotle Altemps Inv8575.jpg

התלמידים של היום צריכים ללמוד את מקצועות המחר עוד אתמול! ומה הם עושים במקום זה? משהו עם מערכת שתוכננה במאה ה- 19 כדי לאלף פועלי פחם. ועוד "בעולם של היום, המשתנה בקצב הולך וגובר". נכון? ספויילר – לא.

בואו נעשה טיפונת סדר. כמו כל דבר ראוי, גם העניין הזה מתחלק לשלושה חלקים: תוכן (תכנית הלימודים), צורה (הפדגוגיה ודרכי ההוראה, או בקיצור, ״מה שקורה בכיתה״), וההקשר (״המערכת״, המבנה, החלוקה לבתי ספר וכיתות, מערך הפיקוח וההכשרה וכו׳).

 

ההקשר

זה המקום היחיד בו ניתן לטעון ברצינות שיש פה משהו ששורשיו במאה ה- 19. המבנה הכללי של בתי ספר, כיתות וכל הכיף התעשייתי הזה, לא עבר מאז מהפיכות ענקיות. אלא מה? כמעט אף אחד לא באמת מציע שינוי עמוק במבנה מערכת החינוך. למה? כי זה מאוד קשה לשנות מערכת כל כך גדולה. יוצאי הדופן הם:
א. תומכי הוואוצ׳רים, שגם השינוי שהם מציעים הוא לא כזה ענק, אלא יותר חזרה למערכת חינוך פרטית.
ב. אוטופיות ״למידה מרחוק״ בהן כולם לומדים בעצמם מרחוק קורסים באוקספורד והארווארד.
ג. אנארכיות ״ביטול בית הספר״, שאני בעד לנסות מתישהו.

אם אנחנו מדברים על זה – אפשר לדבר על זה. יש, כמובן, המון בעיות עם כל אחת מההצעות הללו, עד שצרו שוליו של פוסט זה. למתעקשים לנסות את אחת הרפורמות אזכיר בהקשר הזה את דבריו של ויקטור צ׳רנומירדין: ״לא משנה איזה ארגון ניסינו להקים – בסוף יצא המפלגה הקומוניסטית של ברית המועצות״.

הייתי שמח להמשיך ולדבר על כך, כי יש לצרנומירדין עוד הרבה ציטוטים רלוונטיים. אלא שברוב המכריע של המקרים, המטיפים להתאמת ״המערכת״ של האתמול למקצועות המחר עבור ילדי ההיום לא מדברים על זה בכלל. הם מדברים על הצורה.

הצורה

כלומר, הפדגוגיה. ״הוראה מבוססת פרוייקטים״, ״למידה משמעותית״, ״חינוך טכנולוגי״, ״הוראה מותאמת אישית״, ״שיעור הפוך״, ״למידה לא פרונטאלית״, ואתם יכולים להמשיך עוד ועוד. אלה סיסמאות ריקות. לא במובן ״אלה גישות שלא עובדות״ – כל אחת מהן בהחלט יכולה לעבוד, ואפילו נהדר. אלא שאף אחת מהן אינה תרופת הפלא שתציל הכל. עוד לא נולדה שיטת הוראה שטובה משמעותית מאחרת, ואיננה לחלוטין תלויית השילוש הקדוש מורה-תלמיד-חומר נלמד. לראייה, אפילו בתי הספר הקיצוניים שמלמדים ״הכל״ ״מבוסס פרוייקטים״ לא מצליחים להבין איך מלמדים ככה מתמטיקה מעל רמה בסיסית של חטיבת ביניים.

לא משנה באיזו סיסמה אנחנו נתלים, אין כאן אלא נסיון לשנות את המבנה היסודי של ההוראה: המורה מדבר, שואל שאלות ונותן משימות – התלמידים מקשיבים, שואלים שאלות ומבצעים משימות. יחסית למאה ה- 19, מצד אחד הפדגוגיה השתנתה מאוד, והתרחקה מהשינון. מצד שני – נשארנו קרובים מאוד למה שהיה עוד הרבה הרבה מאוד שנים לפני זה. ככה גם אריסטו לימד את אלכסנדר.

התוכן

אם התכנים של היום מבוססים על המאה ה- 19, הרי שאלה באותה המידה מבוססים על האוניברסיטאות ובתי הספר של הכנסיה, ואלה בתורם מבוססים באותה המידה על הטריוויום והקוואדריוויום ואפשר לחזור ככה עד אריסטו.

והאמת היא שתכנית הלימודים משתנה כל הזמן. רק מה, לשנות קוריקולום זה קשה, מסובך, ולוקח זמן. כי לקחת נושא חדש ולהבין איך כותבים בשבילו ספר לימוד (כלומר, איך מפרקים אותו כך שיהיה ניתן לעיכול על ידי ההמונים) זה תהליך שלוקח כמה עשרות שנים (ואני אופטימי כאן). היום, למשל, כל תלמידי שלוש יחידות מתמטיקה יודעים לגזור פונקציה. אם עוצרים לחשוב על זה רגע, זה מטורף. עזבו רגע את השאלה האם זה משהו שתלמידי 3 יחידות צריכים בכלל ללמוד (הם לא). רק לפני 300 שנה, זאת הייתה מתמטיקה שבודדים (או גג כמה עשרות) בכל העולם היו מסוגלים להבין. היום כולם לומדים את זה, וגוזרים להם פונקציות. כולם. זה מטורף. הדרך מהרעיונות הבלתי ניתנים לעיכול של לייבניץ (וניוטון), לבני גורן 3 יחידות, עוברת במאמץ אינטלקטואלי של כמאה שנים, שבו הבינו, בין השאר, מה זה בכלל פונקציה, איך כדאי לתאר את מה שהיא עושה, ואיך כדאי ללמד את זה לבני אדם.

וככה זה עם כל תוכן חדש. לוקח זמן, לא מעט זמן, עד שהאנושות מצליחה לפרק אותו ולהרכיב אותו מחדש בצורה כזאת שההמונים יכולים לעכל. לכן הנסיון לכתוב היום קוריקולום שמתאים למחר, נידון מראש לכישלון. ואם אמנם אנחנו חיים בעולם שהולך ומשתנה בקצב הולך וגובר – אין בכלל טעם אפילו לנסות. עד שנצליח לעבד איזשהו תוכן עדכני לצורה שניתן ללמד להמונים – התוכן הזה יהיה כבר לא אקטואלי.

אז מה עושים? מלמדים אריסטו. או, לצורך העניין תוכן שהאנושות הספיקה לעכל, ולהבין איך מלמדים אותו להמונים. אבל תמיד טוב להתחיל מאריסטו. אותה אקטואליות – יותר קלאסה.

 

מודעות פרסומת
פורסם בקטגוריה Uncategorized | כתיבת תגובה

צודקת המורה

"טילים מונחים נגד מורים"

אולי לא שמתם לב, אבל לפני כמה ימים האינטרנט סערה וגעשה סביב הציוץ הזה:
"בשעור עברית הילדים נשאלו למה טקס בר המצווה חשוב מטקס בת המצווה. נעם ענה שהוא מסרב לענות ושזו בושה שמע׳ החינוך לא מכבדת את כל הזרמים ביהדות."
הנוסח המדוייק של השאלה היה "הוכח מתוך הטקסט כי…", והמורה הורידה לנעם 4 נקודות, כך דווח לנו באמצעי התקשורת. ידיד הבלוג והמורים בישראל, איתי גרייף, קרא לזה "להשתמש בילדים כטילים מונחים נגד מורים ספציפיים", ושאל האם זה רעיון טוב. התשובה היא שזה לא רעיון טוב, ואוכיח זאת מתוך הטקסט.

כמה דברים ברורים, וכמה דברים לא ברורים

מדוע אלה "טילים מונחים נגד מורים"? הנה, מתוך הטקסט: "במקום ׳שיחה צפופה׳ המורה קיבלה למעלה מ-6,000 שיתופים של זה בפייסבוק (and counting)". המשך עיון בתגובות מעלה שלל שבחים לנעם, ושלל ביקורות על המורה בפרט, ו"המערכת" בכלל. אז נתחיל בדברים הברורים. ברור כי נעם (תלמיד כיתה ז') ניחן ביופי של יכולת ביטוי בכתב (ודאי שיחסית לממוצע הארצי), אוצר מילים נאה, בעמדות מגובשות, בנכונות לעמוד עליהן, ובכתב יד קריא בהחלט, אך טעון שיפור.

מה עשתה המורה בנידון, מלבד הציון? מה אמרה לכיתה לפני שניתן הדף הזה? עם מי שוחחה על מה ואיך אחרי? האם ומה אמרה לנעם בשיחה אישית? כל אלה ועוד, הן שאלות מעניינות, שהתשובה עליהן לא ברורה בכלל, ודאי שלא מתוך הטקסט. אבל הטקסט הזה הוא עוד טפטוף שמערער עוד יותר את האמון השברירי שעליו בנויה עבודת המורה. לכן הטקסט של הציוץ, הוא גט של ההורים הללו למערכת החינוך.

מי נדפק מתהליך הגירושין הזה? 

כשאדם לא מחסן את עצמו או את ילדיו, הפגיעה האפשרית בו (ובילדיו) ברורה וקיימת – אך לא באמת מעניינת. כי לא הם אלה שבאמת נדפקים מזה. נדפקים מזה התינוקות, והזקנים, והחולים במחלות שדופקות את המערכת החיסונית, וסתם כאלה שנתקעו עם מערכת חיסונית קקה.

לעיתים קרובות אלה המניפים בראש חוצות את דגל המחאה, הם נבונים מספיק, חזקים מספיק, עשירים מספיק או סתם מורים טובים מספיק בעצמם, ומוכנים לשים את הזמן שלהם כדי שהילד שלהם לא יידפק בכלל. אני באמת מאמין אמונה שלמה שנעם יהיה באמת בסדר גם בלי בית הספר, ובלי המורה הזאת. אמה מה, רוב ההורים הם חרא של מורים. את המחיר של הגט הזה ישלמו כל אותם הורים שגם ילדיהם יתגרשו מבית הספר, ואין להם את הזמן והכלים לפצות על זה. והם הרוב.

צודקת המורה

צודקת, כשהורידה לו 4 נקודות. לא, לא כי השאלה דרשה "על פי הטקסט" ולא על פי האמת או המוסר או הצדק. לא זה מה שמשנה. כל המורים יודעים שה"האמת" וה"דיוק" הם לעיתים קרובות שיקולים משניים בהוראה. נעם בעצמו מסביר היטב מדוע צודקת המורה. הנה, כך הוא כותב בסיכום דבריו:
"אני מסרב לענות על כך מפני שזה לא נכון. עמדותיי יותר חשובות לי מ- 4 נקודות".

מחאות אידיאולוגיות הן נפלאות ונהדרות. אבל הן לא פוטרות את המוחה מלחטוף את ההשלכות הצפויות. להיפך. זה רק מוסיף להן ערך. אילו אפשר היה לענות או לא לענות על השאלה, או לענות עליה על פי צו מצפונו של המשיב – העמידה על הערכים שהפגין נעם הייתה הרבה פחות מעניינת ומרשימה. עצם היכולת להתמודד עם "המערכת", לעשות לא את מה ש"אמורים", והנכונות המלאה לחטוף על כך את ה"עונש" – הם שיעור לא רע בכלל בפני עצמם. 4 הנקודות הללו, סמליות ככל שיהיו, הן הנותנות יתר תוקף ומשמעות לאקט המחאה. עכשיו, בסדר, האיש בכיתה ז'. זה בדיוק הזמן למחאות בסדר הגודל הזה – שחופטים עליהן את זרוע הממסד בסדר הגודל הזה.

פורסם בקטגוריה Uncategorized | 2 תגובות

הטוב, הרע והלא נורא: איך מרגישה אמפתיה

הנה סיפור על מורה שבילתה יומיים כשהיא "עוקבת" אחר תלמיד בבית ספר תיכון. היא עשתה כל מה שתלמיד עושה. ישבה בשיעורים, סיכמה, כתבה בחינות, יצאה להפסקות. ואתם לא תאמינו מה היא למדה מכך!

Image result for scream

לא, לא באמת. מורים לא עושים קליקבייטים. הנה הדברים שהמורה נדהמה לגלות, ושבעקבותיהם היא רוצה להנדס מחדש את כל דרכי הוראתה:

  1. התלמידים יושבים כל היום. כלומר פיזית, עם הכסא על התחת.
  2. רוב זמן הישיבה הזה הוא פאסיבי, והם רק מקשיבים.
  3. התלמידים מרגישים רוב הזמן כמו סוג של מטרד.

אבל בניגוד לכותבת הטור המקורי, נדמה לי שאחד הדברים שהיא הבינה הוא דווקא טוב, אחד באמת רע, ואחד לא נורא בכלל. בזמן שאתם מנחשים נכונה, צריך לציין שהסיפור הזה הוא מרתק משתי בחינות עיקריות. ראשית, עצם הנכונות לצאת מאיזורי הנוחות. זה תמיד דבר טוב. אבל באופן מעניין לא פחות, כל המסקנות שלה, והסיבות שבגללן אני לא מסכים איתה שהכל כל כך נורא, מתנקזות לדבר אחד ויחיד: אמפתיה. היכולת לפסוע כמה צעדים בנעליו של אחר, להרגיש את שהוא מרגיש ולהצטבט כשהוא נצבט. אמפתיה היא אחד משלושת עמודי היסוד של המקצוע שלנו (ביחד עם דידקטיקה ומוטיבציה), והטור הזה הוא הזדמנות טובה לבחון את העמוד הזה.

הטוב: על השאלה החשובה ביותר בעבודתו של המורה

השאלה החשובה ביותר בעבודתו של המורה היא "מה עושים התלמידים בשיעור". התשובה שניתנת בטור בוושינגטון פוסט היא התשובה הקלאסית של מבקרי "הגישה המסורתית הפרונטאלית" בהוראה – "התלמידים לא עושים שום דבר". אבל… מה זה בעצם אומר, "לא עושים שום דבר"? סלעים יכולים לא לעשות שום דבר (יתקנו אותי הגיאולוגים). אפילו עציצים "צומחים" רוב הזמן. יש תורות מהמזרח הרחוק המשקיעות המון בללמד את האדם לא לעשות כלום. זה מאוד מאוד קשה. לא סביר שתלמידי תיכון, בהמוניהם, מצליחים בזה.

אז הם תמיד עושים משהו, פשוט כי אנשים תמיד עושים משהו. השאלה היא מה. הם בטח לא "מקשיבים"  זו לא תשובה בכלל. "מקשיבים" זו לא פעולה שמישהו עושה. "מנסים להבין איך הכל מתחבר ביחד" יכולה להיות פעולה של תלמידים שנראית כמו "להקשיב". אבל גם "סופרים את הזמן עד שהשיעור יסתיים", "נמנעים מקשר עין עם מושא אהבתם", "שוקעים בתוך שרשרת אסוציאציות בנושא השיעור", ועוד שלל פעולות אחרות.

"מקשיבים" זה תיאור חיצוני של "איך מה שהתלמידים עושים נראה מבחוץ". ואתם יודעים מה? אם הם באמת מקשיבים תוך כדי מה-שזה-לא-יהיה-שהם-עושים, זה טוב. הם תלמידים. הם נמצאים בכיתה כדי ללמוד דברים. ואם מי שעומד מולם הוא מורה, ולא מחנך – הוא כנראה גם בדיוק מלמד אותם משהו בזמן שהם "מקשיבים". אז אני לא יודע מה התלמידים עשו בזמן שנראה היה שהם מקשיבים, אבל זאת התחלה מאוד טובה. שיקשיבו, אולי ילמדו משהו.

הרע: על האנשים בצד השני של הטלפון

"שלום הגעתם למוקד השירות מדבר שלומי במה אוכל לעזור?" שלום שלומי. כולנו יודעים כמה קל להתעלם מכך שאתה בן אדם. אתה פונקציה. אתה נציג המערכת. אתה עונה לי על שאלה, וזהו. לא, אין לי כוונה להתחיל להלין על הניכור של ההוויה המודרנית. רק כשהוא קורה בכיתה. והוא קורה בשני הכיוונים. מבחינת רוב התלמידים המורים כנראה מתקפלים בסוף היום בחזרה לקופסאות הקרטון, ויוצאים בבוקר כדי ללמד אותם. וגם לנו, המורים, קל מדי לשכוח שהאנשים הנמוכים שיושבים מולינו הם בני אדם.

זה טבעי. אנחנו מלבישים על האנשים שסביבינו את הכובע של התפקיד שלהם בסביבה שבה אנחנו פוגשים אותם. ככה המוח שלנו עובד. אחד האתגרים בעבודת המורה הוא לשבור את זה. משני הכיוונים. להכריח את התלמידים לשים לב שאתה לא חי בתוך הכיתה וזהו – אבל גם להכריח את עצמך לזכור שהם לא "תלמידים". זאת הסיבה שהם מרגישים שהם "מטרד" שרק צריך לסתום את הפה ולא להפריע. וזאת בעיה אמיתית. בעיה של אמפתיה.

למורים שונים יש שיטות שונות להתגבר על זה. אחת החביבות עלי היא לא לשקר להם (למעט שקרים דידקטיים, כן? בלי אלה אנחנו נהיה מורים פחות טובים). ב"לא לשקר" אני מתכוון ללא להסתיר מהם מידע על עצמי. אם אין לי כוח היום – אני אגיד את זה. אם הם עצבנו אותי – אני אגיד את זה. אם הופתעתי – הם יידעו את זה. ואם הם שואלים מה שלומי – לענות בכנות. אין שום דבר שגורם לאדם מולך להתעורר פתאום ולהבין שהוא מדבר עם לא-רובוט, כמו תשובה כנה ל"מה שלומך".

והלא נורא בכלל: על תעתועי האמפתיה

הנה הבעיה עם אמפתיה. אנחנו שמים את עצמינו בנעליים של מישהו אחר. זה יופי, כי אם הנעליים בנויות ממש גרוע, אנחנו נשים לב לזה כשיהיה לנו לא נוח ולוחץ. אבל יכול להיות שלוחץ לנו כי הרגליים שלנו גדולות יותר בכמה מידות והנעליים שלהם לא מתאימות לנו.

קשה לשבת כל היום? יכול להיות. אפילו כנראה שזה נכון. אבל אם תשימו לב, המורה שכתבה את הטור עשתה זאת אחרי 14 שנות ותק. כלומר היא חצתה את גיל ה 30 בואך 35. גוף האדם הוא מכונה מופלאה, אבל מה לעשות, אחרי גיל 30 הוא עובד אחרת. היה לה פיזית מזעזע לשבת כל היום? זה לכשעצמו לא נורא בכלל. כי אלה שיושבים כל היום הם לא בני 30. האם גם להם נורא לשבת כל היום? אני לא יודע, אני לא רופא. אני מורה.

עצם העובדה שאני מרגיש משהו כשהאמפתיה שלי פועלת, לא אומר שזה מה שהצד השני מרגיש. הו, כמה קל לקפוץ ממקפצת ה"אני יודע איך הוא מרגיש!" היישר אל הבריכה הריקה של מהלכים שכל קשר בינם לבין התלמיד שמולינו הוא מקרי בהחלט. כי מה לעשות, הנעליים לא לחצו לו בכלל, והוא דווקא ישמח אם פשוט נחזיר לו אותן ונפסיק להרוס אותן בנסיון להתאימן לרגל הגסה שלנו. לו היה נוח. אלה הנעליים שלו. תחזירו לילד את הנעליים.

פורסם בקטגוריה Uncategorized | תגובה אחת

ככה סתם, כאילו כלום

באחד הימים ישבתי עם כמה מורים בנסיבות מקצועיות. והנה, סח אחד מהם וסיפר לנו בשיעור שהיה: השיעור, שיעור רגיל היה של מה בכך. פונקציות כאלה ואחרות, תכונותיהן, תחומיהן, היתכנותן וכדומה. אין בכך משום המיוחד. והנה, כך סיפר לי רעי, ״מתוך עיסוק טפל בסינוסו של איקס, פתאום קמתי אומר לתלמידי – ומה בדבר סינוסו של אחד חלקי איקס?״

ראוי כי יידעו הקוראים כי אין פונקציא זו מצויה בחומר הלימוד, ואין העיסוק בה נדרש בבית הספר. מסובכת היא, מוזרה, ומשנה דעתה שוב ושוב עד בלי גבול. ועדיין, כך היה הדבר, קם, ואמר. ״סינוסו של אחד חלקי איקס״. ומספר לי עמיתי כי אורו עיניו. סתם כך, ללא מטרה וללא תכלית, עת שסטה מהדרך שהתווה לעצמו, ושפסע בה פסיעות רבות, החל השיעור נראה חינני יותר, ומנצנץ יותר בחשכת בית הספר שסביבו.

וכל תלמידיו הולכים שבי אחריו. והחלה מתפתחת בו ובהם מעין זרימה. והחלו להפוך בפונקציה המשונה אנה ואנה, ולהגות בה, ולחוקרה חקור וצלוב. מדוע מנמיכה שאיפותיה ככל שחולף הזמן עד שנדמה וכמעט אינה מצפה לדבר עוד – אך רק כמעט? מדוע נדמה במבט ראשון כי אין מבדילה היא בין השלילי והחיובי בחיים הללו – אך אין הדבר אלא אחיזת עיניים? ומדוע אין היא מסוגלת להחליט מה לעשות כאשר אין עתותיה בידיה?

הוא מספר, ואני רואה בעיניו את האור. והוא מתאר את השיעור ומהלכו, ואני רואה בעיני תלמידיו את חדוות העשייה, ואת שאר הרוח ואת גובה האסימפטוטה. והוא מדבר בשבח השוטטות ללא מטרה, בשבח הזרימה וההליכה לאיבוד באמצע השיעור – ואני חושב שהסיפור הוא קצת אחר.

______________

יש תופעה ידועה לעוסקים בתיאטרון: קחו אדם רגיל, שקנה פלאפל הרבה פעמים ובצורה אמינה מאוד. שימו אותו על הבמה, ותגידו לו ״עכשיו אתה משחק סצינה שבה אתה קונה פלאפל״ – ותראו זיוף. משהו בהבעת הפנים, בתנועה, בקול – משהו יהיה מזוייף. לא אמיתי. הוא לא יתנהג כמו שהוא מתנהג כשהוא באמת קונה פלאפל. הוא יתנהג אחרת. הוא ישחק שהוא קונה פלאפל. בתיאטרון קוראים לזה בפשטות שקר.

העניין הוא שקשה מאוד לעשות בצורה טבעית ואמיתית משהו מתוכנן וידוע מראש. זאת הסיבה שאנשים לומדים משחק שלוש שנים. זאת גם הסיבה שרוב השיעורים של רוב המורים מרגישים קצת מזוייפים. כי השיעור מתוכנן מראש. וכאמור, להתנהל בשיעור מתוכנן מראש בצורה טבעית ואמיתית – זה קשה. למעט מתי מעט בעלי כישרון טבעי ומאוד יוצא דופן, רוב בני האדם צריכים ללמוד איך עושים את זה.

אבל! קחו את אותו שחקן מתחיל, כשהוא מועד על הבמה. הוא מועד, באמת. ואז, לפתע, הבעת פניו מבוהלת באמת. ושפת גופו אמיתית. למה? כי הוא באמת מעד, והוא עצמו מנסה לקום. זה מה שבאמת קורה על הבמה. רגע של אמת. שחקני תיאטרון גדולים, יודעים לייצר כאלה. הם עומדים על הבמה, והם אמיתיים. וכשזה קורה בתיאטרון – זה נהדר.

וגם בכיתה. לכן מה שקרה הוא לא שהתלמידים התלהבו מאחד חלקי איקס. מה שקרה הוא שהשיעור היה מתוכנן, על פי ״מערך השיעור״, ולכן המורה הרגיש קצת מזוייף. על הבמה היה שקר. שזה בסדר. אבל אז, פתאום, המורה באמת התלהב ממשהו ממש עכשיו. ועמד מול תלמידיו, ובאמת חשב הרגע על משהו, ובאמת ניסה להסביר להם למה זה יפה. מזה התלמידים התלהבו. מרגע של אמת.

______________

יכול להיות שבסוף הסיפור אמור להיות איזה לקח. אני לא באמת יודע. שאל תשקרו לתלמידים שלכם. ושכשאתם משקרים לתלמידים שלכם – תגידו שאתם משקרים להם. ושצריך להכניס לימודי משחק לבתי ספר להכשרת מורים. ושמתמטיקה זה באמת יפה.

פורסם בקטגוריה Uncategorized | כתיבת תגובה

למה אסור למתמטיקאים ללמד מתמטיקה בבתי ספר

אני מת על מתמטיקאים. באמת. מעריץ אותם אפילו. אבל אסור להם ללמד מתמטיקה בבתי ספר. בדרך כלל כשמנסים להסביר למה, מרחיקים לכת עד סיפור ״המתמטיקה החדשה״ בארצות הברית של אמריקה לפני אי אילו עשורים. אז הנה, הסבר אחר. אזהרת מסע: יש קצת מתמטיקה, אבל היא מלווה בקשקושים בהשראת הבחירות בארצות הברית, ויש בדיחה בסוף.

בואו ניקח טענה שיכולה לעלות במהלך שיעור מתמטיקה סטנדרטי לחלוטין. דמיינו, אנחנו בגיאומטריה, בסביבות כיתה ח׳ למשל. לומדים שתיכון מחלק את המשולש לשני שטחים שווים. ואז תוהים לנו ״אבל מה אם זה לא משולש?״ במלבן, למשל, קל לדמיין את קו הסימטריה שמחלק אותו חצי חצי. אבל מה עם צורות לא סימטריות? האם תמיד אפשר למצוא איזה קטע שיחלק אותן חצי-חצי מבחינת השטח?

area 0

אזהרת ספויילר: התשובה היא כן. תמיד. אבל השאלה המעניינת יותר, כמו שקורה הרבה במתמטיקה, היא למה. מסקר בלתי מייצג בעליל שערכתי, המתמטיקאים ייטו לתשובה שהולכת בערך ככה (רק קצת יותר מדוייק ונכון, כי מתמטיקאים הם כאלה): נתחיל ממצב שבו הקטע שמחלק את הצורה נדחק עד הסוף לצד שמאל, כלומר כל הצורה כחולה. אפשר להזיז את הקטע הזה בצורה רציפה, עד הקצה השני, כך שכל הצורה תהיה אדומה.area 1

עכשיו, ניקח בכל פעם את ההפרש בין השטח האדום לכחול. איך אפשר לחשב אותו, אתם שואלים? לא צריך. מספיק לשים לב שבהתחלה ההפרש הזה חיובי. יש הרבה שטח כחול ואפס שטח אדום – והרבה פחות אפס זה מספר חיובי. בסוף התהליך, ההפרש שלילי, כי אנחנו תמיד עושים כחול פחות אדום. אם יש אפס כחול והרבה אדום, אז ההפרש יהיה אפס פחות הרבה – שזה מספר שלילי. השינוי הוא רציף, ולכן יש איפשהו נקודה שבה ההפרש הוא אפס. ומה זה ״הפרש אפס בין השטח הכחול לאדום״, אם לא מצב שבו שני השטחים שווים? מ.ש.ל.

בעלי ההשכלה המתמטית מבין הקוראים ודאי שמו לב לכל מיני פרטים שלא התייחסתי אליהם. אז בבקשה, זה עומד להחמיר. כך אני הייתי מציג את העניין בכיתה: נעביר קטע אחד שמחלק את השטח בערך חצי חצי, אבל קצת יותר לשטח האדום. וקטע אחר שמחלק גם, בערך חצי חצי, אבל קצת יותר לכחול. עכשיו, נקרב טיפה את הקטעים מבלי לשנות את זה שהראשון נותן יותר שטח לצד האדום והשני לכחול. נקרב, ונקרב ונקרב – עד שהם ייפגשו באמצע. הסוף.area 2

בשלב הזה, המתמטיקאים בקהל שהצליחו לא להתפלץ לחלוטין מכל נפנופי הידיים (״בערך״, ״טיפה״, ״קצת יותר״ – זוועה), אמורים לזעוק מרה שאני בכלל מקשקש בקומקום, כי לא הצגתי שום שני פתרונות. זה אותו פתרון. וכמו בבדיחה עם הכדור הפורח, הם יהיו כמובן צודקים לחלוטין. מבחינה מתמטית, זה אותו פתרון. אמה מה, מתמטיקה היא רק אחד השיקולים של מורה למתמטיקה. יש גם דידקטיקה. ומבחינה דידקטית יש כמה הבדלים קריטיים: הקוגניטיבי, הנרטיבי, והקונסטרוקטיבי. תישארו, באמת יש בדיחה בסוף, מבטיח.

ההבדל הקוגניטיבי – או לשם ובחזרה

כדי להבין את ההבדל הזה, צריך להבין מה הופך את המתמטיקה למכשיר החשיבה המרשים ביותר שהאנושות הצליחה לפתח. האמת היא שיש שלושה מאפייני יסוד עמוקים כאלה במתמטיקה (ועוד אחד שהוא צירוף מקרים). הרלוונטי לעניינינו, הוא הקישוריות בין תחומים שונים בתוך המתמטיקה, מה קוראים אותו לפעמים איזומורפיזם. אחד הדברים שהמתמטיקה עושה כל הזמן, הוא ״לתרגם״ בעיה המנוסחת במונחי תחום מתמטי מסויים, לתחום אחר. זה לכשעצמו לא מרשים. מה שמרשים הוא, שלפעמים הרבה יותר קל לפתור את הבעיה דווקא בתחום אחר, אחרי התרגום. ואז מה שנותר הוא לתרגם בחזרה את הפתרון למונחים המקוריים. אם שמעתם על המשפט האחרון של פרמה, זה משפט שעוסק במספרים וחזקות. כדי להוכיח אותו, היו צריכים לעשות כמה תרגומים מאוד מתוחכמים לכל מיני אליפסואידים, ודברים אחרים שאינם מספרים כלל. שם הוכיחו את המשפט, כאשר הטריק הוא כמובן לבצע תרגום באופן כזה שכשנתרגם בחזרה, הכל יישאר נכון.

מה זה? איך זה יכול להיות שיש עקרון כל כך יסודי במתמטיקה ולא שמענו עליו בתיכון, אתם שואלים? אז האמת היא שזה מופיע כבר בחטיבה, כשלומדים על מערכת הצירים – שאינה אלא תרגום מעולם הצורות (הגיאומטריה) לעולם האלגברה – וחזרה. האמת היא שזאת גם הפעם הראשונה שבה התרגום הזה נעשה בצורה מובהקת בתולדות המתמטיקה, על ידי אחד רנה דקארט שמו. אולי שמעתם עליו, הוא המתמטיקאי השני החשוב ביותר בכל הזמנים. זה קורה לרוב בכיתה ח׳, וגם אז, לרוב, לא מוקדשת תשומת לב מיוחדת לכך שזה בעצם מה שקורה. תזכרו את זה, מייד נחזור לזה.

בגרסה הראשונה של ההוכחה, יש לנו תרגום כזה. הוא קצת חמקמק, אבל הוא שם. הטענה היא טענה על צורות ושטחים. כדי להוכיח אותה, מדברים על הפרש – שהוא מספר. מסתכלים על ההתנהגות של המספר הזה (או הפונקציה הזאת, למיטיבי לכת), מגיעים למסקנה  – ואז מתרגמים את המסקנה בחזרה, כך שתהיה מסקנה על שטחים.

נו, אז מה הבעיה? הבעיה היא, ובכן, קוגניטיבית. לעשות את הקפיץ-קפוץ הזה משטחים למספרים וחזרה, זה לא טריוויאלי לאדם הממוצע. בהתחשב בעובדה שהפעם הראשונה שמשהו כזה נעשה היא בכיתה ח׳, וגם אז – לרוב בלי להפנות על זה זרקור (זוכרים?) המהלך הזה, הנראה טריוויאלי למתמטיקאים, הוא מאוד מאוד לא טריוויאלי לתלמידים. זה דורש שיעור שלם שבו מדברים על זה במפורש, מציגים את הרעיון וכו׳. זה כבר לא משהו שעושים כבדרך אגב. זה הופך להיות כבד ומסורבל, ולא חמוד ויפה. מכנפיים שיכולות להעיף את השיעור למעלה, זה הופך להיות גוש נוצות במשקל של מאה קילו ברזל, שצריך לגרור עכשיו כל הדרך על הרצפה. זה לא נוח, זה מלכלך, וזה מעצבן.

ההבדל הנרטיבי – היה היו, בצורה רחוקה, שני שטחים

שיעור טוב הוא שיעור המספר סיפור. מה לעשות, אנחנו בני אדם, וככה המוח שלנו עובד. לסיפורים יש התחלה, אמצע וסוף. והגרסה הראשונה של ההוכחה, מספרת סיפור מבולגן מאוד. מתחילים מפה, הולכים עד הסוף לשם, אחר כך חוזרים לאמצע. ואז מחשבים הפרשים פה, שם ובאמצע, ו… זה לא סיפור טוב. זאת הוכחה טובה, אבל סיפור מחורבן. בגרסה השניה יש סיפור מאוד פשוט: היה היה שטח אדום ושטח כחול. הם התקרבו זה לזה לאט לאט, עד שנפגשו באמצע. הסוף.

יש הרבה סיבות שבגללן הסיפור השני הוא טוב יותר מהסיפור הראשון. ההתחלה שלו מייצגת מצב דומה יותר למה שאנחנו מדמיינים אינטואיטיבית כשאנחנו קוראים את השאלה. הסוף שלו הוא בדיוק הפואנטה, ולא צריך לחזור ולחפש אותה באמצע. הוא מתקדם באותו כיוון בצורה מאוד ברורה. אפשר לצפות יותר בקלות איך הוא ייגמר. ויש עוד. לצערי, החוגים להכשרת המורים עדיין לא הכניסו סדנאות מספרי סיפורים לסילבוס שלהם, כי זה באמת חיוני.

ההבדל הקונסטרוקטיבי – הנה, פה יש בדיחה

מכירים את הבדיחה על המתמטיקאי והתה? אני רק מזהיר, זאת בדיחה מתמטית, מה שאומר שהיא לא באמת מצחיקה. אותי היא מצחיקה, אבל אתם לא חייבים. יש לה כמה גרסאות, הנה הרלוונטית לעניינינו. מבקשים ממתמטיקאי להכין לנו כוס תה. הוא נכנס למטבחון, שוהה שם כמה דקות, וחוזר מרוצה מאוד, ובלי תה. ״איפה התה?״ אתם שואלים אותו – והוא עונה בשמחה שכן, בהחלט, ניתן להכין תה במטבחון.

העניין הוא שבגדול, ברוב המקרים, למתמטיקאים לא ממש אכפת אם מצאנו את הפתרון המדוייק או לא. עצם הידיעה (הוודאית) שהוא קיים – מספיקה. אין צורך להכין את התה, אין אפילו צורך לדעת איך להכין את התה. מספיק לדעת בוודאות שאפשר, איכשהו. הוכחות שממש מראות איך בדיוק למצוא את הפתרון, או במקרה שלנו את התה, או את הקו שמחלק את הצורה חצי חצי – נקראות הוכחות קונסטרוקטיביות. הן ״בונות״ את הפתרון. היו מתמטיקאים שניסו להעמיד את העניין הזה כדרישה, וסירבו לקבל הוכחות לא קונסטרוקטיביות. הבעיה היא שהגישה הזאת ממש מחרבת אקטיבית חלקים גדולים ומשמעותיים במתמטיקה. המתהמתמטיקה, בחלקה הגדול, היא לא קונסטרוקטיבית. המתמטיקה התיכונית, דא עקא, דווקא כן.

הלך החשיבה של ״הוכחנו שהפתרון קיים, גם אם אין לנו מושג מה הוא, או איך למצוא אותו״ זר לתלמיד בית הספר. כמו כל דבר אחר, אפשר ללמד את זה. אבל על המורה למתמטיקה לדעת, ראשית, שזה יהיה משהו חדש לחלוטין, שיידרוש התייחסות מפורשת ונפרדת. זה לא משהו שאפשר להעביר כבדרך אגב. במובן מסויים, זה יהפוך להיות נושא השיעור.

כמה מהתלמידים יעריכו את זה? כמה מהם ישתמשו בזה? האם זה נבון לקחת את כל הכיתה לטיול בתוך הפילוסופיה של ההוכחות? אלה שאלות טובות, ולא מתמטיות. אלה שאלות פדגוגיות. אלה שאלות שמורה צריך להתמודד איתן. התשובה שלי היא שאין סיבה לקחת את כל הכיתה לטיול הזה. יכול להיות שהייתי מראה את הגרסא הראשונה של ההוכחה, בקצרה, בסוף השיעור, בגדר ״מי שמבין מבין, ומי שלא מבין ממש לא נורא״. יכול להיות שלא הייתי מראה אותה בכלל, למרות שהיא טובה יותר כהוכחה.

אבל גם כאן, כמו קודם, השיקולים המנחים הם לא שיקולים מתמטיים. לעיתים הם אנטי-מתמטיים אפילו. לפעמים הדבר הנכון לעשות עבור המורה למתמטיקה, הוא לא הדבר הנכון מבחינה מתמטית. לפעמים אפילו הוא פשוט שגוי מבחינה מתמטית. כי הוא נכון יותר דידקטית.

וזאת הסיבה שלמתמטיקאים אסור ללמד מתמטיקה.

פורסם בקטגוריה Uncategorized | 3 תגובות

אני לא רוצה שתלוו אותי הלאה

השנה נפרדתי מהתלמידים שלי, כי אני לא אהיה בבית הספר בשנה הבאה.

היה לי ממש חיבור מיוחד עם הכיתה. למרות שאני ״רק״ מורה מקצועי, דיברנו בכיתה על המון דברים. ולא רק בכיתה. היו לי איתם המון שיחות אישיות משמעותיות מחוץ לשיעורים. חלקם התייעצו איתי על דברים שקשורים לחיים האישיים שלהם. אני יודע שהם סיפרו לי דברים שהם לא סיפרו לאף מבוגר אחר. גם מהבחינה המקצועית נטו, הבנתי אותם וקלטתי אותם ממש טוב. ידעתי מתי צריך ללחוץ ולדרוש, ומתי חייבים להרפות. אני יודע לגבי כמה מהם בוודאות שהם לא היו נשארים ללמוד מתמטיקה 5 יחידות אחרת. שניים מהם אפילו אמרו לי את זה. ועכשיו, הם יצטרכו להתמודד לבד, עם מורה אחר.

השיעור האחרון היה ממש מרגש. חשבתי המון מה לעשות ואיך להיפרד מהם כמו שצריך. הלכנו לגינה ליד בית הספר, אני הכנתי פעילות מיוחדת שמסכמת את השנה, היה סבב כזה שבו כל מי שרצה אמר משהו. אני טיפוס ציני לעיתים קרובות, אבל עמדו לי דמעות בעיניים. גם להם. ניסיתי להרגיע אותם, ולהגיד להם שיהיה בסדר ושהם יתמודדו לא משנה מי ילמד אותם בשנה הבאה – אבל בפנים ידעתי שזה לא נכון. הרבה מהם יפרשו ולא ימשיכו כי לא יהיה מי שיידע להתייחס אליהם כמו שצריך. גם הם ידעו את זה, אבל אף אחד מאיתנו לא אמר את זה בקול רם. יצאתי מהשיעור הזה עם הרגשה מאוד ברורה שבשביל זה אני נמצא במקצוע הזה.

מאז עברו משהו כמו עשר שנים, שבהן למדתי להתרחק ממלכודת הדבש הזאת כמו מדבורים שנמצאות ליד מלכודות דבש. היומרה, היוהרה, ההרגשה שהשמש זורחת לי מהתחת, שבלעדיי הם לא יצליחו כמו שצריך, שרק אני מבין אותם, שלא יהיה להם עוד מורה כזה – בולשיט. בולשיט מפתה כמו פאטה מורגנה – ומסוכן באותה המידה.

יש שתי אפשרויות עם מורים שמרגישים ככה. הראשונה – הם משקרים לעצמם מרוב הנעימי שזה עושה להם בגב. התלמידים שלהם יזרמו הלאה בכיף, אולי פחות טוב, אולי יותר. הם ישתתפו בפסטיבל הרגש והבכי בשביל המורה שלהם, או כי ככה נגמרות סדרות מרגשות בטלויזיה – אבל זה לא באמת אירוע מטלטל בחיים שלהם. בתי קברות, אנשים ללא תחליף ותפוסה מלאה.

האפשרות השניה היא גרועה הרבה יותר. שהמורה עד כדי כך כריזמטי שהוא באמת יכול לתפוס מקום כל כך משמעותי בחיים של התלמידים שלו שהליכתו תהיה אובדן אמיתי, קשה, שבאמת גורם לחיים שלהם להפוך להיות גרועים יותר באמת. במקרה כזה, מורה כזה שנותן לזה לקרות הוא פושע. מורה כזה, שלא מנצל את היכולות הללו שלו כדי לגרום לפרידה להיות קלה, ושוקע עם תלמידיו בים של דמעות – הוא פושע.

אנחנו דמויות חולפות בחיים שלהם. אולי דמויות משמעותיות – אבל חולפות. ודמויות חולפות צריכות לחלוף.

כשנפרדתי מהתלמידים שלי השנה, עשיתי את זה באגביות כמעט, בלי נאומי פרידה מרגשים, עם המון תחושה של ״מה זהו ככה הולכים?״ (כן, זהו, ככה הולכים) ובלי דמעות בעיניים. למרות שאני מת עליהם, ולמרות שבאמת נקשרתי אליהם. כמובן שלא הפתעתי אותם. הם ידעו שאני הולך כי הזכרתי את זה כמה פעמים במהלך החודשים האחרונים. אבל תמיד באגביות, בלי עניין בלי טרגדיות ובלי ״סגירת מעגל״. שימשיך להסתובב החלאה. כאילו שכל מה שעשיתי, כל ההשקעה, כל מה שנתתי להם יכולים לחלוף ככה בפוף, והם יכולים פשוט לזרום הלאה. לנהל שיחות משמעותיות עם מישהו אחר, לעשות 5 יחידות בלעדיי, כאילו אני הכי ניתן להחלפה בעולם. כי אתם יודעים משהו? זה נכון. וגם אם לא – חלק מהעבודה שלי היא לגרום לזה להיות נכון, וליצור מצב שבו ״לעבור הלאה״ זה קל ופשוט.

זה קצת מכעיס, אני לא אשקר לכם. כל שנה אני נזכר בשיעור הפרידה ההוא, לפני עשר שנים, וכמה משהו כזה חסר לי השנה. לא נורא. אני אתגבר. בשביל זה אני נשאר במקצוע הזה.

פורסם בקטגוריה Uncategorized | 12 תגובות

ומה אם אני הומו?

אחת הסיבות שבגללן אני לא לוקח על עצמי את תפקיד ״מחנך כיתה״, והסלידה העמוקה שהתחלתי לפתח כלפי המילה ״מחנך״, קשורה למשמעות אחת שנדבקה אליה חזק מאוד, עד כדי כך שזאת הפכה להיות ממש ציפיה ממחנכי כיתות: ״השיחה״. כמו אהבה, אפוקליפסה ושלכת – אף אחד לא יכול להסביר מה זה בדיוק, אבל כשזה זה, כולם יודעים. ומה שמייחד ״שיחות״ מכל צורת תקשורת אנושית אחרת, הוא ש״שיחות״ זה משהו ש״עושים״. 

אני שונא ״שיחות״. אני שונא ש״עושים לי שיחות״, אני שונא ״לעשות שיחות״, ואני נושך את הלשון חזק מאוד כשאני שומע על ״שיחות״ שמישהו עשה למישהו אחר. אני לא זוכר את התוכן של אף ״שיחה״ שעשו לי כשאני הייתי תלמיד, ואין לי שום סיבה להניח שמישהו מהם יזכור ״שיחה״ שיעשו להם.

את הסיבה שבגללה ״שיחות״. הן חסרות משמעות למדתי מקונסטנטין סטניסלבסקי. בקצרה – לא קורה בהן שום דבר לאף אחד. אף אחד לא מבצע פעולה משמעותית כלשהי. אחרת, היו מוצאים פועל אחר כדי לתאר אותן. אבל אין. לכן, נאלצים להסתפק בסתמי שבפעלי שפתינו: ״לעשות״. ולכן הן מרוחקות, סתמיות, ולא מעניינות אף אחד, ה״שיחות״ האלה.

״עשית להם שיחה על זה?״ שואלים מורה שסיפר על תלמידים ש(שוב) השתמשו ב״הומו״ בתור קללה. כאילו שהתלמידים האלה לא עברו כבר שמונים ״שיחות״ כאלה. כאילו ש״שיחה״ יכולה להזיז משהו למישהו.

עשיתי לעצמי מנהג. כשאני שומע תלמיד שמקלל ״יא הומו״, אני ניגש לאותו תלמיד, או קורא לו לבוא אלי רגע, ושואל אותו ברוגע ובנימוס, מול כל מי שטורח להיות במקרה בסביבה ולהקשיב, ״ומה אם אני הומו?״. כמו כל דבר שקשור לבני אדם, לפעמים זה לא עובד. לפעמים הם לא מבינים מה אני רוצה מהחיים שלהם, ולא מצליחים לייצר תשובה. אבל ברוב המכריע של המקרים, זה לא מה שקורה. ברוב המכריע של המקרים, הם עונים לי משהו, ואני מתייחס ברצינות מוחלטת לכל מה שהם אמרו, ואנחנו מתחילים לדבר.

הרבה פעמים הם שואלים ״מה, אתה באמת הומו?״ ואז אני שואל אותם בתגובה אם זה משנה להם ולמה. לפעמים הם מתחילים לצחוק, ואז אני שואל אותם אם הם מתביישים או משהו, ולמה. לפעמים הם עונים ״לא, לא התכוונתי לזה ככה״, ואז אני שואל אותם איך הם כן התכוונו. ואני באמת מוכן לקבל כל תשובה לשאלה הזאת. גם תשובות שאני מאוד לא אוהב. אני לא אסתיר את זה שאני לא אוהב את התשובה. אני אולי אפילו אגיד להם את זה. אבל זאת תהיה תשובה. הנה, אני שאלתי שאלה, והם נתנו לי תשובה.

אבל אני לא מנסה לנזוף בהם. ולא מנסה לשכנע אותם, ולא להטיף להם, ובטח שלא לחנך אותם, ישמור דגון על נשמתי הקדושה. אני שואל אותם שאלה, ובאמת מתעניין בתשובה שיש להם. היו פעמים שבהן יצאתי עם התשובה ״הומואים זה אסור בתורה ולכן זה קללה״, או משהו בסגנון. וזהו. כאן סיימנו לדבר. או שהמשכנו. בלי כעס, בלי נסיונות שכנוע או הטפות. כי זאת היתה תשובה לשאלה ששאלתי – ״ומה אם אני הומו?״. תשובה שאומרת ״הדת שלי חשובה לי יותר ממך במקרה הזה״. הנה, אני שאלתי שאלה – והוא ענה תשובה שהוא צריך לחיות איתה עכשיו. אם הוא יכול לחיות איתה בשקט – ממילא אין שום דבר שיכלתי להגיד לו שהיה משנה משהו.

פורסם בקטגוריה Uncategorized | 5 תגובות